Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

3

a（a＞0）
（1）试求计论函数f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=x²-ax=x（x-a）；由导数的正负确定函数的单调性；
（2）由（1）知，化恒成立问题为f（a）＞0；即

1

3

a³-

1

2

a•a²+

2

3

a＞0；从而求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

3

a（a＞0）
∴f′（x）=x²-ax=x（x-a）；
∴当x∈（-∞，0），（a，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0；
故函数f（x）的单调增区间是（-∞，0），（a，+∞）；
单调减区间是（0，a）；
（2）由（1）知，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
故当x≥0时，f（x）＞0恒成立可化为f（a）＞0；
即

1

3

a³-

1

2

a•a²+

2

3

a＞0；
即（a+2）a（a-2）＜0；
又∵a＞0；
∴0＜a＜2．
即a的取值范围为（0，2）．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．