Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），期中常数ω＞0．
（1）若ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到的函数y=g（x）的图象，求g（x）；
（2）若y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上单调递增，求ω的取值范围；
（3）对（1）中个g（x），区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先求得解析式f（x）=2sin2x，向左平移

π

6

个单位，得到的函数解析式g（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（2）由题意可得

- π 4 ω≥- π 2 2π 3 ω≤ π 2

，从而可求ω的取值范围；
（3）令g（x）=0，得x=

kπ

2

-

π

6

，（k∈Z）．可得相邻两个零点之间的距离为

π

2

，结合图象可知b-a≥14T+

π

2

，可求b-a的最小值．

解答： 解：（1）若ω=2，由题意得f（x）=2sin2x，向左平移

π

6

个单位，得到的函数y=g（x）=2sin[2（x+

π

6

）]=2sin（2x+

π

3

）．
故g（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（2）因为ω＞0，y=f（x）=2sinωx在[-

π

4

，

2π

3

]单调递增，
∴

- π 4 ω≥- π 2 2π 3 ω≤ π 2

，解得0＜ω≤

3

4

．
∴ω的取值范围为（0，

3

4

]．
（3）∴函数y=g（x）=2sin（2x+

π

3

），
令g（x）=0，得x=

kπ

2

-

π

6

，（k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为

π

2

．T=π
要使y=f（x）在[a，b]上至少含有30个零点，至少包含14.5个周期．
结合图象可知b-a≥14T+

π

2

=

29π

2

．
∴b-a的最小值为

29π

2

．

点评：本题考查三角函数的性质和图象，涉及根的个数的判断，注意三角函数的周期的应用，属中档题．