Question

已知a b c∈R⁺，a+

2

b+

3

c=2

3

，记a²+b²+c²的最小值为m．
（Ⅰ）求实数rn；
（Ⅱ）若关于x的不等式|x-3|≥m和x²+px+q≥0的解集相同，求p的值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：选作题,推理和证明

分析：（Ⅰ）由柯西不等式（a²+b²+c²）[1²+（

2

）²+（

3

）²]≥（a+

2

b+

3

c）²=12，故a²+b²+c²≥2；
（Ⅱ）求出不等式|x-3|≥m的解集，利用韦达定理，即可求出p的值．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式（a²+b²+c²）[1²+（

2

）²+（

3

）²]≥（a+

2

b+

3

c）²=12，
故a²+b²+c²≥2，
当且仅当

a

1

=

b

2

=

c

3

时取等号，
∴a²+b²+c²的最小值m为2；
（Ⅱ）不等式|x-3|≥m即不等式|x-3|≥2，解得x≥5或x≤1，
∴x²+px+q≥0的解集为{x|x≥5或x≤1}，
∴p=-（1+5）=-6．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查二维形式的柯西不等式，属于中档题．