Question

某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为6万元，但生产一百台需要另增加0.5万元．市场对此产品的年需求量为7百台（年产量可以多于年需求量），销售的收入函数为R（x）=7x-

x2

2

（0≤x≤7）（单位：万元），其中x是产品年生产量（单位：百台），且x∈N．
（Ⅰ）把利润表示为年产量的函数；
（Ⅱ）年产量是多少时，工厂所得利润最大？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，由题意，当x≤7时，产品能够全部售出，当x＞7时，只能销售700台，由此能把利润表示为年产量的函数．
（Ⅱ）当0≤x≤7时，y=-

x2

2

+6.5x-6，当x=6.5（百台）时，y_max=15.125（万元）；当x＞7（百台）时，y＜18.5-0.5×7=14（万元）．由此能求出年产量是多少时，工厂所得利润最大．

解答： 解：（Ⅰ）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，
由题意，当x≤7时，产品能够全部售出，当x＞7时，只能销售700台，所以
y=

7x- x2 2 -(6+0.5x)，0≤x≤7 7×7- 1 2 ×72-(6+0.5x)，x＞7

，
整理，得y=

- x2 2 +6.5x-6，0≤x≤7 18.5-0.5x，x＞7

；
（Ⅱ）当0≤x≤7时，y=-

x2

2

+6.5x-6，
当x=6.5（百台）时，y_max=15.125（万元）；
当x＞7（百台）时，y＜18.5-0.5×7=14（万元）．
综上所述，当生产6.5百台时，工厂所得利润最大．

点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意二次函数性质的灵活运用．