Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，F₁F₂=

10

，P是y轴正半轴上一点，PF₁交椭圆于点A，若AF₁⊥PF₂，且△APF₂的内切圆半径为

2

2

，则椭圆的离心率是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，直角三角形的内切圆半径r=

2

2

，结合|F₁F₂|=

10

，可得|AF₁|²+|AF₂|²=10，从而可求|AF₁|+|AF₂|=3

2

=2a，即可求得椭圆的离心率．

解答： 解：由题意，直角三角形的内切圆半径r=

|PA|+|AF2|-|PF2|

2

=

|PA|-|PF1|+|AF2|

2

=

|AF2|-|AF1|

2

=

2

2

，
∵|F₁F₂|=

10

，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=10，
∴2|AF₁||AF₂|=8，
∴（|AF₁|+|AF₂|）²=18，
∴|AF₁|+|AF₂|=3

2

=2a，
∵|F₁F₂|=

10

，
∴椭圆的离心率是e=

c

a

=

10

3 2

=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．