Question

4．已知函数f（x）=sin²x+cosx-1，$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$．
（1）求y=f（x）的值域；
（2）若f（x）-a=0有两个不相等的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先化简函数的解析式，再根据余弦函数的值域，二次函数的性质求得f（x）的最值，可得函数的值域．
（2）由题意可得函数f（x）的图象和直线 y=a=0有两个不同的交点，数形结合求得a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+cosx-1=-cos²x+cosx=-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，
由$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，可得cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故当cosx=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{4}$，
当cosx=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{3}{4}$，故函数的值域为[-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]．
（2）由题意可得函数f（x）的图象和直线 y=a=0有两个不同的交点．
令cosx=t，则g（t）=-${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$ 在t∈[-$\frac{1}{2}$，1]上的图象和直线y=a有两个不同的交点，
故$a∈\{0，\frac{1}{4}\}$．

点评 本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．