题目内容

设两个一元二次方程ax2+2bx+1=0和cx2+2dx+1=0（其中a，b，c，d均为实数）满足a+c=2bd．求证：上述两个方程中至少有一个方程有实数根．
考点：反证法的应用
专题：推理和证明
分析：利用反证法即可得到结论．
解答： 解：假设上述两个方程中都没有实数根．
则两个方程的判别式△1=4b2-4a＜0，△2=4d2-4c＜0，
即b2＜a，d2＜c，不等式两边同时相加得b2+d2＜a+c，
∵a+c=2bd．
∴不等式等价为b2+d2＜2bd，
这与b2+d2≥2bd矛盾，
故假设不成立，
即上述两个方程中至少有一个方程有实数根．
点评：本题主要考查命题的推理和证明，利用反证法是解决本题的关键．
练习册系列答案
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已知集A={x|ax2+1=0}，且1∈A，则实数a的值为（　　）
A、-1B、0C、1D、2
已知f（x）=（ax+2）6，f′（x）是f（x）导函数，若f′（x）的展开式中x的系数大于f（x）的展开式中x的系数，则a的取值范围是（　　）
A、a＞
2
5
或a＜0
B、0＜a＜
2
5
C、a＞
2
5
D、a＞
2
5
或a＜0
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为
2
2
．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF的周长为16，那么C的方程（　　）
A、
x2
12
+
y2
8
=1
B、
x2
8
+
y2
16
=1
C、
x2
8
+
y2
12
=1
D、
x2
16
+
y2
8
=1
若函数y=（x+2）（x-a）为偶函数，则a=（　　）
A、2B、1C、-1D、-2
在数列{an}中，已知a1=3，当n≥2时，
1
an
-
1
an-1
=
1
5
，求an．
计算：（x+
1
y
）+（x2+
1
y2
）+…+（xn+
1
yn
）（x≠0，x≠1，y≠1）．
解关于x的不等式：x2+ax+1＜0．
y=f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x2）＜0，求实数x的取值范围．

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