Question

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2^i-1个正整数．设a_ij（i、j∈N^*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
（Ⅰ）若i=6，j=8，求a_ij的值；
（Ⅱ）记A_n=a₁₁+a₂₁+a₃₁+…+a_n1（n∈N*），试比较A_n与n²-1的大小，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）明确数表中前i-1行共有1+2+2²+…+2^i-2=2^i-1-1个数，则第i行的第一个数是2^i-1，于是可得a_ij=2^i-1+j-1，继而可得a₆₈的值；
（Ⅱ）由a_i1=2^i-1，可知A_n=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，A_n-（n²-1）=2ⁿ-n²，检验n=1，2，3，4，5，可猜想当n≥5时，A_n＞n²-1，再利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为数表中前i-1行共有1+2+2²+…+2^i-2=2^i-1-1个数，则第i行的第一个数是2^i-1，所以a_ij=2^i-1+j-1（2分）
所以，a₆₈=2^6-1+7=39（5分）
（Ⅱ）因为a_i1=2^i-1，所以A_n=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，
所以A_n-（n²-1）=2ⁿ-n²，（7分）
检验知，当n=1时，2ⁿ=2＞n²=1，
当n=2时，2ⁿ=4=n²=4，
当n=3时，2ⁿ=8＜n²=9，
当n=4时，2ⁿ=16=n²=16，
当n=5时，2ⁿ=32＞n²=25，即A_n＞n²-1（8分）
猜想：当n≥5时，A_n＞n²-1（9分）
证明：①当n=5时，2⁵=32＞n²=25，所以A_n＞n²-1成立．（10分）
②假设当n=k（k≥5）时，不等式成立，即2^k＞k²，则2^k+1=2×2^k＞2k²．
因为2k²-（k+1）²=k²-2k-1=k（k-2）-1，
而k≥5，故k（k-2）-1＞0，所以2^k+1＞（k+1）²，即当n=k+1（k≥5）时，猜想也正确，
由①②得当n≥5时，2ⁿ＞n²成立．
综上分析，当n≥5时，A_n＞n²-1（13分）

点评：本题考查归纳推理，着重考查数列递推关系式的应用，突出考查数学归纳法的应用，考查分析、运算、推理的能力，属于难题．