Question

已知定义在R上的函数f（x）=e^x+

1

ex

，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在区间{0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值是m，求m的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若f（2x²+a²）-f（3x²-3ax+a²+2）＜m-2在a∈[-1，1]时恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论；
（Ⅱ）可证明函数为偶函数，故f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，在区间（-∞，0]上是减函数；从而求最小值f_min（x）=f（0）=2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（2x²+a²）-f（3x²-3ax+a²+2）＜m-2可化为f（2x²+a²）-f（3x²-3ax+a²+2）＜0，即f（2x²+a²）＜f（3x²-3ax+a²+2），可判断3x²-3ax+a²+2＞0，2x²+a²≥0；故2x²+a²＜3x²-3ax+a²+2在a∈[-1，1]时恒成立；从而化为最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）证明：任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=ex1+

1

ex1

-（ex2+

1

ex2

）
=

(ex1-ex2)(ex1+x2-1)

ex1ex2

，
∵ex1-ex2＜0，ex1ex2-1＞0；
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
即函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）∵f（-x）=e^-x+

1

e-x

=e^x+

1

ex

=f（x），
∴f（x）为偶函数；
又∵f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在区间（-∞，0]上是减函数；
∴f_min（x）=f（0）=2；
故m=2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（2x²+a²）-f（3x²-3ax+a²+2）＜m-2可化为
f（2x²+a²）-f（3x²-3ax+a²+2）＜0，
故f（2x²+a²）＜f（3x²-3ax+a²+2），
设y=3x²-3ax+a²+2，
△=9a²-12（a²+2）=-3a²-24＜0；
故3x²-3ax+a²+2＞0；
又∵2x²+a²≥0；
故f（2x²+a²）-f（3x²-3ax+a²+2）＜0在a∈[-1，1]时恒成立可化为
2x²+a²＜3x²-3ax+a²+2在a∈[-1，1]时恒成立，
即g（a）=3ax-x²-2＜0在a∈[-1，1]时恒成立，
故

3x-x2-2＜0 -3x-x2-2＜0

，
解得，x＜-2或-1＜x＜1或x＞2；
故实数x的取值范围为{x|x＜-2或-1＜x＜1或x＞2}．

点评：本题考查了函数的单调性及奇偶性的判断与证明，同时考查了恒成立问题，属于中档题．