Question

16．设F₁、F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）到F₁、F₂两点的距离之和等于6，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：2a=6，a=3．将点A（$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入椭圆方程：$\frac{6}{9}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1$，解得：b²=8，则c²=a²-b²=1，即可求得椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足x=$\frac{{x}_{1}-1}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}}{2}$；求得x₁=2x+1，y₁=2y，代入椭圆方程，即可求得线段F₁K的中点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，由A（$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）到F₁、F₂两点的距离之和等于6，
则2a=6，即a=3．
又点A（$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）在椭圆上，代入椭圆方程：$\frac{6}{9}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1$，解得：b²=8，
于是c²=a²-b²=1．…（4分）
∴椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$，…（5分）
焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）；…（6分）
（Ⅱ）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足x=$\frac{{x}_{1}-1}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}}{2}$；
即x₁=2x+1，y₁=2y．…（8分）
代入椭圆方程：$\frac{（2x+1）^{2}}{9}+\frac{（2y）^{2}}{8}=1$，整理得：$\frac{（2x+1）^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∴所求的轨迹方程$\frac{（2x+1）^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查轨迹方程的求法，考查计算能力，属于中档题．