题目内容
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| AP |
| PC |
| BP |
| PD |
（1）当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的λ=
| 5 |
| 7 |
（2）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由离心率，得到ac关系，通过A坐标代入到椭圆方程中，能求出a，b，求出椭圆方程．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由
=λ
，
=λ
，推出坐标关系，将AB坐标代入椭圆方程推出b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0，通过kAB=kCD，导出kAB=0，说明kAB=-
为定值．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由
| AP |
| PC |
| BP |
| PD |
| b2 |
| a2 |
解答：
解：（1）因为椭圆的离心率为
，所以b2=
a2，…（2分）
因为C（a，0），λ=
，所以
=λ
，得A(
，
)，
将它代入到椭圆方程中，得
+
=1，解得a=2，…（4分）
∴b=
，所以椭圆方程为
+
=1…（6分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由
=λ
，得
，同理
=λ
，可得
，…（8分）
将A、B坐标代入椭圆方程得
，两式相减得
b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0，
即b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0①…（10分）
同理，b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kCD=0，
而kAB=kCD，所以b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kAB=0，
所以b2λ(x3+x4)+a2λ(y3+y4)kAB=0②
①+②得b2(x1+λx3+x2+λx4)+a2(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0，
即kAB=0，所以kAB=-
为定值．…（12分）
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
因为C（a，0），λ=
| 5 |
| 7 |
| AP |
| PC |
| 12-5a |
| 7 |
| 12 |
| 7 |
将它代入到椭圆方程中，得
| (12-5a)2 |
| 49a2 |
| 122 | ||
49×
|
∴b=
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由
| AP |
| PC |
|
| BP |
| PD |
|
将A、B坐标代入椭圆方程得
|
b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0，
即b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0①…（10分）
同理，b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kCD=0，
而kAB=kCD，所以b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kAB=0，
所以b2λ(x3+x4)+a2λ(y3+y4)kAB=0②
①+②得b2(x1+λx3+x2+λx4)+a2(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0，
即kAB=0，所以kAB=-
| b2 |
| a2 |
点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为（ ）A、
| ||
| B、2π | ||
C、
| ||
D、
|
下列各区间为函数y=sinx的增区间的是（ ）
A、（-
| ||||
| B、（0，π） | ||||
C、（
| ||||
| D、（π，2π） |