题目内容
14．已知函数$y=\frac{3+x}{x-2}，x∈[3，6]$（1）判断并证明函数的单调性；
（2）求此函数的最大值和最小值．
分析 变形可知y=$\frac{5}{x-2}$+1．（1）利用定义法判断即可；
（2）结合（1）可知当x=3时y取最大值，当x=6时y取最小值，进而计算可得结论．
解答 解：由题可知y=$\frac{3+x}{x-2}$=$\frac{5+x-2}{x-2}$=$\frac{5}{x-2}$+1．
（1）函数y=$\frac{3+x}{x-2}$在[3，6]上单调递减．
证明如下：
任取x1、x2∈[3，6]，不妨设x1＜x2，则$\frac{5}{{x}_{2}-2}$-$\frac{5}{{x}_{1}-2}$=$\frac{5（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
由于x1-x2＜0，且x1-2＞0，x2-2＞0，
所以$\frac{5}{{x}_{2}-2}$-$\frac{5}{{x}_{1}-2}$＜0，即函数y=$\frac{5}{x-2}$在[3，6]上单调递减，
所以函数y=$\frac{3+x}{x-2}$在[3，6]上单调递减．
（2）由（1）可知，当x=3时y取最大值$\frac{3+3}{3-2}$=6，
当x=6时y取最小值$\frac{3+6}{6-2}$=$\frac{9}{4}$．
点评 本题考查函数的单调性，考查求函数的最值，考查利用定义法判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于基础题．
练习册系列答案
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2．将函数y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）图象上的点M（θ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（0＜θ＜$\frac{π}{4}$）向右平移t（t＞0）个单位长度得到点M′．若M′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）
| A． | θ=$\frac{π}{12}$，t的最小值为$\frac{π}{12}$ | B． | θ=$\frac{π}{12}$，t的最小值为$\frac{π}{6}$ | ||
| C． | θ=$\frac{π}{6}$，t的最小值为$\frac{π}{6}$ | D． | θ=$\frac{π}{6}$，t的最小值为$\frac{π}{12}$ |
9．“（x-1）（x+2）=0”是“x=1”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
19．已知F1，F2分别是椭圆mx2+y2=m（0＜m＜1）的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，若$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$的最小值为$\frac{4}{3}$，则椭圆的离心率是（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{5}$ |
6．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$cos（ωx-$\frac{7π}{6}$）（ω＞0），满足f（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，则满足题意的ω的最小值为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 1 | D． | 2 |
3．若点P是曲线$y=\frac{3}{2}{x^2}-2lnx$上任意一点，则点P到直线$y=x-\frac{5}{2}$的距离的最小值为（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
4．关于函数y=tan（2x+$\frac{2π}{3}$），下列说法正确的是（ ）
| A． | 是奇函数 | B． | 在区间$（\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}）$上单调递增 | ||
| C． | $（-\frac{π}{12}，0）$为其图象的一个对称中心 | D． | 最小正周期为π |