Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，右顶点A（3，0），直线l与x轴交于点A，与y轴交于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C的另一交点为D，P为弦AD的中点，是否存在着定点Q，使得OP⊥EQ恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若OM∥l，交椭圆C于点M，在（2）的条件下，求$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，c=$\sqrt{5}$，则b²=a²-c²=4，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，求得D坐标，根据中点坐标公式，即可求得P点坐标，分别求得OP及EQ的斜率，由k_OP•k_EQ=-1，即可求得4n+（12-9m）k=0，即可求得m和n值，求得Q点坐标；
（3）设直线OM的方程y=kx，代入椭圆方程，求得x_M，$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$=$\frac{丨{x}_{D}-3丨+丨{x}_{E}-3丨}{丨{x}_{M}丨}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{9{k}^{2}+12}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{9{k}^{2}+4}$+$\frac{8}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$），根据基本不等式的性质，即可求得答案．

解答 解：（1）由椭圆右顶点A（3，0），a=3，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，则c=$\sqrt{5}$，
b²=a²-c²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程y=k（x-3），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（9k²+4）x²-54k²x+81k²-36=0，
设D（x_D，y_D），则3x_D=$\frac{81{k}^{2}-36}{9{k}^{2}+4}$，则x_D=$\frac{27{k}^{2}-12}{9{k}^{2}+4}$，y_D=k（x_D-3）=-$\frac{24k}{9{k}^{2}+4}$，
∴D（$\frac{27{k}^{2}-12}{9{k}^{2}+4}$，-$\frac{24k}{9{k}^{2}+4}$），由P为弦AD的中点，则P（$\frac{27{k}^{2}}{9{k}^{2}+4}$，-$\frac{12k}{9{k}^{2}+4}$），
∴直线OP的斜率k_OP=-$\frac{4}{9k}$，
对于直线l的方程y=k（x-3），令x=0，则E（0，-3k），
假设存在定点Q（m，n），m≠0，满足OP⊥EQ，
直线EQ的斜率k_EQ=$\frac{n+3k}{m}$，
∴k_OP•k_EQ=-$\frac{4}{9k}$•$\frac{n+3k}{m}$=-1，整理得4n+12k-9km=0，
由4n+（12-9m）k=0恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{12-9m=0}\\{4n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
则定点Q的坐标为（$\frac{4}{3}$，0）；
（3）由OM∥l，则直线OM的方程y=kx，设M（x_M，y_M），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，解的：x_M=±$\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$，
由$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$=$\frac{丨{x}_{D}-3丨+丨{x}_{E}-3丨}{丨{x}_{M}丨}$=$\frac{6-\frac{27{k}^{2}-12}{9{k}^{2}+4}}{\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{9{k}^{2}+12}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{9{k}^{2}+4}$+$\frac{8}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$）≥2$\sqrt{\sqrt{9{k}^{2}+4}×\frac{8}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}}$=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{9{k}^{2}+4}$=$\frac{8}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$，即k=±$\frac{2}{3}$时，取等号，
∴当k=±$\frac{2}{3}$时，$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式，直线的斜率公式，考查基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．