Question

4．已知函数f（x）=x²+x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，7）处的切线的方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求切点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）设出切点，求得切线的斜率，求出切线的方程，代入原点，解方程可得切点的坐标．

解答 解：（1）∵f′（x）=2x+1，
∴f（x）在点（2，7）处的切线的斜率为k=f′（2）=5．
∴切线的方程为y-7=5（x-2），
即y=5x-3．
（2）设切点坐标为（x₀，y₀），
则直线l的斜率为f′（x₀）=2x₀+1，
y₀=x₀²+x₀+1，
∴直线l的方程为y=（2x₀+1）（x-x₀）+x₀²+x₀+1．
又∵直线l过坐标点（0，0），
∴0=（2x₀+1）（0-x₀）+x₀²+x₀+1，
整理得，x₀²=1，
∴x₀=±1，若x₀=1，则y₀=1²+1+1=3，
若x₀=-1，则y₀=（-1）²+（-1）+1=1．
∴切点坐标（1，3），或（-1，1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意切点的确定，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．