Question

5．已知数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和S_n=$\frac{（n+1）{a}_{n}}{2}$．则（1-$\frac{1}{{S}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{S}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{S}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{S}_{2016}}$）的值为（　　）

• A． $\frac{2015}{3024}$
• B． $\frac{2015}{4032}$
• C． $\frac{1009}{2016}$
• D． $\frac{1009}{3024}$

Answer 1

分析 分类讨论，当n≥2时，S_n=$\frac{（n+1）{a}_{n}}{2}$=$\frac{（n+1）}{2}$（S_n-S_n-1），从而可得$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，从而化简∴（1-$\frac{1}{{S}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{S}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{S}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{S}_{2016}}$）=$\frac{4×1}{2×3}$•$\frac{5×2}{3×4}$•$\frac{6×3}{4×5}$•$\frac{7×4}{5×6}$•…•$\frac{（n+2）（n-1）}{n（n+1）}$•…•$\frac{2018×2015}{2016×2017}$，从而解得．

解答 解：当n=1时，S₁=a₁=1，
当n≥2时，S_n=$\frac{（n+1）{a}_{n}}{2}$=$\frac{（n+1）}{2}$（S_n-S_n-1），
∴$\frac{（n+1）}{2}$S_n-1=$\frac{n-1}{2}$S_n，
∵$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
∴S_n=1•$\frac{3}{1}$•$\frac{4}{2}$•$\frac{5}{3}$•$\frac{6}{4}$•$\frac{7}{5}$•…•$\frac{n+1}{n-1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴1-$\frac{1}{{s}_{n}}$=1-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{（n+2）（n-1）}{n（n+1）}$，
∴（1-$\frac{1}{{S}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{S}_{3}}$）（1-$\frac{1}{{S}_{4}}$）…（1-$\frac{1}{{S}_{2016}}$）
=$\frac{4×1}{2×3}$•$\frac{5×2}{3×4}$•$\frac{6×3}{4×5}$•$\frac{7×4}{5×6}$•…•$\frac{（n+2）（n-1）}{n（n+1）}$•…•$\frac{2018×2015}{2016×2017}$
=$\frac{2016+2}{3×2016}$=$\frac{1009}{3024}$，
故选：D．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及叠乘法的应用．