Question

19．函数f（x）=lnx-3ax有两个零点，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{3e}$）．

Answer 1

分析 令y=0，进行变形lnx=3ax，即a=$\frac{lnx}{3x}$，令 g（x）=$\frac{lnx}{3x}$，利用导数的方法，研究其单调性及最大值，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：y=f（x）有零点，即f（x）=lnx-3ax=0有解，a=$\frac{lnx}{3x}$，
令 g（x）=$\frac{lnx}{3x}$，g′（x）=（$\frac{lnx}{3x}$）′=$\frac{1-lnx}{3{x}^{2}}$，
解g′（x）=0得x=e．
则g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
当x=e时，g（x）的最大值为g（e）=$\frac{1}{3e}$，
所以a≤$\frac{1}{3e}$，
由于函数f（x）=lnx-3ax有两个零点，
∴a的取值范围是（0，$\frac{1}{3e}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{3e}$）．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，还考查了数形结合的思想，是一道中档题．