题目内容
已知函数f（x）=-x2+2x．
（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[0，5]时，求f（x）的最大值和最小值．
（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[0，5]时，求f（x）的最大值和最小值．
考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）设1＜x1＜x2，求得f（x1）-f（x2）＞0，可得f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）利用二次函数的性质求得当x∈[0，5]时，求f（x）的最大值和最小值．
（2）利用二次函数的性质求得当x∈[0，5]时，求f（x）的最大值和最小值．
解答：
解：（1）证明：∵函数f（x）=-x2+2x，设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=2（x1-x2）+（x22-x12）=（x1-x2）[2-（x1+x2）]，
由题设可得（x1-x2）＜0，2-（x1+x2）＜0，∴（x1-x2）[2-（x1+x2）]＞0，即 f（x1）＞f（x2），
故f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）x∈[0，5]时，f（x）=-（x-1）2+1，故当x=1时，函数取得最大值为1；当x=5时，函数取得最小值为-15．
由题设可得（x1-x2）＜0，2-（x1+x2）＜0，∴（x1-x2）[2-（x1+x2）]＞0，即 f（x1）＞f（x2），
故f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）x∈[0，5]时，f（x）=-（x-1）2+1，故当x=1时，函数取得最大值为1；当x=5时，函数取得最小值为-15．
点评：本题主要考查用函数的单调性的定义证明函数的单调性，二次函数的性质的应用，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+6x+5．