Question

（1）①证明两角和的余弦定理C_（α+β）=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，②由C_（α+β）推导两角差的正弦公式S_（α-β）=sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ．
（2）已知α，β都是锐角，cosα=

4

5

，sin（α+β）=

5

13

，求sinβ．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,证明题,三角函数的求值

分析：（1）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理即得；②由诱导公式sin（α-β）=cos[

π

2

-（α-β）]变形整理可得．
（2）由于sinβ=sin[（α+β）-α]，运用公式，只要求出sinα，cos（α+β），注意角的范围，即可得到所求值．

解答： 解：（1）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，
并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，
交⊙O于点P₁，终边交⊙O于P₂；角β的始边为OP₂，
终边交⊙O于P₃；角-β的始边为OP₁，终边交⊙O于P₄．
则P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）P₃（cos（α+β），sin（α+β）），
P₄（cos（-β），sin（-β））
由P₁P₃=P₂P₄及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由①易得cos（

π

2

-α）=sinα，sin（

π

2

-α）=cosα，
sin（α-β）=cos[

π

2

-（α-β）]=cos[（

π

2

-α）+β]=cos（

π

2

-α）cosβ-sin（

π

2

-α）sinβ
=sinαcosβ-cosαsinβ；
（2）∵α是锐角，cosα=

4

5

，∴sinα=

3

5

，
∵α，β是锐角，∴π＞α+β＞α＞0，sin（α+β）=

5

13

＜sinα，∴α+β∈（

π

2

，π），
∴cos（α+β）=-

12

13

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=

5

13

×

4

5

-（-

12

13

）×

3

5

=

56

65

．

点评：本题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力．属于中档题．