Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一个零点，求f（2）的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导，由极值的定义确定b的值；（2）代入零点确定a与c的关系，求出取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=-3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f′（0）=0．
∴b=0．
（2）解：由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是其中一个零点，则f（1）=-1+a+c=0，
∴c=1-a．
∵f′（x）=-3x²+2ax=0的两根为0，

2a

3

；
∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴

2a

3

＞1，即a＞

3

2

．
∴f（2）=3a-7＞-

5

2

．
故f（2）的取值范围为（-

5

2

，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．