Question

如图1，已知：抛物线y=

1

2

x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B、C两点坐标分别为B（4，0）、C（0，-2），连结AC．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=0以及y=0代入y=

1

2

x-2得出B，C的坐标．把相关坐标代入抛物线可得函数关系式．
（2）已知AB，AC，BC的值，根据反勾股定理可证明△ABC是直角三角形．
（3）证明△CGF∽△CAB，利用线段比求出有关线段的值．求出S_矩形DEFG的最大值．再根据△ADG∽△AOC的线段比求解．

解答： 解：（1）令x=0，y=-2，
当y=0代入y=

1

2

x-2得出：x=4，
故B，C的坐标分别为：
B（4，0），C（0，-2）
y=

1

2

x²-

3

2

x-2．
（2）△ABC是直角三角形．
证明：令y=0，则

1

2

x²-

3

2

x-2=0．
∴x₁=-1，x₂=4．
∴A（-1，0）．
解法一：∵AB=5，AC=

5

，BC=2

5

．
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²．
∴△ABC是直角三角形．
解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
∴

CO

BO

=

AO

OC

=

1

2

∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90度．
即∠ACB=90度．
∴△ABC是直角三角形．
（3）能．①当矩形两个顶点在AB上时，如图1，CO交GF于H．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴

GF

AB

=

CH

CO

．
设GF=x，则DE=x，
CH=

2

5

x，DG=OH=OC-CH=2-

2

5

x．
∴S_矩形DEFG=x•（2-

2

5

x）=-

2

5

x²+2x=-

2

5

（x-

5

2

）²+

5

2

．
当x=

5

2

时，S最大．
∴DE=

5

2

，DG=1．
∵△ADG∽△AOC，
∴

AD

AO

=

DG

OC

，
∴AD=

1

2

，
∴OD=

1

2

，OE=2．
∴D（-

1

2

，0），E（2，0）．
②当矩形一个顶点在AB上时，F与C重合，如图2，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB．
∴

GD

BC

=

AG

AF

．
设GD=x，
∴AC=

5

，BC=2

5

，
∴GF=AC-AG=

5

-

x

2

．
∴S_矩形DEFG=x•（

5

-

x

2

）=-

1

2

x²+

5

x
=-

1

2

（x-

5

）²+

5

2

．
当x=

5

时，S最大．∴GD=

5

，AG=

5

2

，
∴AD=

AG2+GD2

=

5

2

．
∴OD=

3

2

，∴D（

3

2

，0）
综上所述：当矩形两个顶点在AB上时，坐标分别为（-

1

2

，0），（2，0）；
当矩形一个顶点在AB上时，坐标为（

3

2

，0）．

点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及三角形相似的判定，考生要学会灵活运用二次函数的相关知识．