Question

已知定义域为R函数f（x）=

ex

x2-ax+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）求实数a的取值范围，并讨论当a≥0时，f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a≥0时，证明：当x∈[0，1+a]时，f（x）≥x．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）对a进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）对a进行分类讨论，把证明不等式成立问题转化为判断函数单调性问题解决，利用（1）的结论即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）定义域为R，知x²-ax+1＞0恒成立，于是△=a²-4＜0，
所以得-2＜a＜2，所以实数a的取值范围是（-2，2）；  …（1分）
当a=0时，f(x)=

ex

x2+1

，函数定义域为R，f′(x)=

ex(x-1)2

(x2+1)2

≥0，
于是f（x）在R上单调递增；
当a∈（0，2）时，求导得f′(x)=

ex(x-1)[x-(a+1)]

(x2-ax+1)2

，因为△=a²-4＜0，
所以x²-ax+1＞0恒成立，函数定义域为R，又a+1＞1，知f（x）在（-∞，1）上单调递增，
在（1，a+1）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ）当a=0时，[0，a+1]=[0，1]，又f（x）在[0，1]单调递增，f（0）=1于是f（x）≥1≥x，
即得f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立．…（6分）
当a∈（0，2）时，由（I）知f（x）在[0，1]上递增，在[1，1+a]上递减．
当x∈[0，1]时，由f（x）≥1≥x，即得f（x）≥x在x∈[0，1]上成立；…（8分）
当x∈（1，1+a]时，有f(x)≥f(1+a)=

e1+a

(1+a)2-a(1+a)+1

=

e1+a

a+2

．
下面证明：f(1+a)=

ea+1

a+2

≥a+1．
令x=a+1，h（x）=e^x-（x+1）x，则h'（x）=e^x-2x-1，且x∈（1，3）．
记φ（x）=h'（x）=e^x-2x-1，则φ'（x）=e^x-2＞e-2＞0，于是φ（x）=h'（x）在[1，3]上单调递增．
又因为h'（1）＜0，h′(

3

2

)=e

3

2

-4＞0，所以存在唯一的x0∈(1，

3

2

)使得h′(x0)=ex0-2x0-1=0，从而ex0=2x0+1．
于是h（x）在[1，x₀）上单调递减，在（x₀，3]上单调递增，此时h（x）≥h（x₀）=ex0-

x

2 0

-x0=2x0+1-

x

2 0

-x0=-(x0-

1

2

)2+

5

4

＞0．
从而 h（a+1）≥h（x₀）＞0，即  

ea+1

a+2

≥a+1．
亦即       f（x）≥f（a+1）≥a+1≥x．
因此不等式f（x）≥x在（1，1+a]上成立．
所以当a∈（0，2）时，不等式f（x）≥x对于任意的x∈[0，a+1]恒成立．
综上可得，当a∈[0，2]时，对于任意的x∈[0，a+1]不等式f（x）≥x恒成立．…（12分）

点评：本题主要考查函数单调性的判断及证明不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的性质，注意分类讨论思想的运用，逻辑性强，属难题．