Question

已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）且满足f（xy）=f（x）+f（y），且0＜x＜1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）证明：f（x）在定义域上是减函数；
（3）若f（2）=1，求满足f（x）≤2-f（x-3）的x的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1代入式子f（xy）=f（x）+f（y），可得f（1）=0；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根据f（xy）=f（x）+f（y）得，f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），由条件和函数单调性的定义，f（x）在定义域上是减函数；
（3）由f（2）=1求出f（4）=2，根据（2）的结论和等式，将不等式f（x）≤2-f（x-3）转化成一个关于x的一元二次不等式，注意定义域，解不等式即可得到答案．

解答： 解：（1）由题意，令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）；
可得f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）得，f（xy）-f（x）=f（y），
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
令x=x₂，y=

x1

x2

代入上式得，f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
因为0＜x＜1时，f（x）＞0，且0＜

x1

x2

＜1，
所以f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数；
解：（3）令x=y=2，结合f（2）=1可得：
f（4）=f（2）+f（2）=2，
则f（x）≤2-f（x-3）化为f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），
因为f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，
所以

x(x-3)＞0 x(x-3)≥4

，解得x≥4或x≤-1，
故x的范围是{x|x≥4或x≤-1}．

点评：本题考查的知识点是抽象及其应用，函数的单调性的判断与证明，利用赋值法函数的值，其中抽象函数中“凑”的思想是解答此类问题的关键，注意函数的定义域．