Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右焦点F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为

3

6

a² （O为坐标原点），则双曲线的两条渐近线的夹角为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：据条件设出点A 的坐标，利用△OAF的面积（O为原点），找出a与b的关系，得到渐近线的斜率，进而得到倾斜角，从而得到结果．

解答： 解：双曲线的渐近线方程是：y=±

b

a

x，右准线方程为x=

a2

c

，
∵右准线与一条渐近线交于点A，
可设点A（

a2

c

，

ab

c

），
∵△OAF的面积为

3

6

a2（O为原点），
∴

1

2

c•

ab

c

=

3

6

a2，∴

b

a

=

3

3

，
∴渐近线的斜率分别为

3

3

和-

3

3

，
两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°，
则夹角为60°．
故答案为：60°．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率和两直线的夹角问题，考查三角形的面积计算，属于中档题．