Question

已知抛物线C₁：x²=4py，圆C₂：x²+（y-p）²=p²，直线l：y=

1

2

x+p，其中＞0，直线l与C₁，C₂的四个交点按横坐标从小到大依次为A，B，C，D，则

AB

•

CD

的值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），求出抛物线的焦点为F，圆的圆心和半径，由抛物线的定义得：|AB|=|AF|-|BF|=y₁，同理|CD|=y2，则

AB

•

CD

=|

AB

|•|

CD

|=y₁y₂，联立直线方程与抛物线方程且消去x，运用韦达定理，即可得到．

解答： 解：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
抛物线C₁：x²=4py的焦点为F（0，p），圆C₂：x²+（y-p）²=p²，圆心为（0，p），半径为p，
由题意得|BF|=|CF|=p，
由抛物线的定义得：|AB|=|AF|-|BF|=p+y₁-p=y₁，同理得|CD|=y₂
则

AB

•

CD

=|

AB

|•|

CD

|=y₁y₂．
联立直线l：y=

1

2

x+p与抛物线x²=4py的方程且消去x得：4y²-12py+4p²=0
解得：y₁y₂=p²
所以

AB

•

CD

=p²．
故答案为：p²．

点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，同时考查联立直线方程好额抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，属于中档题．