Question

2．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的周长的最大值为10．

Answer 1

分析 画出图形，并分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为F，E，可设∠EOD=θ（$θ∈（0，\frac{π}{2}）$），从而得出CD=4cosθ，$BC=AD=2\sqrt{2-2cosθ}$=$4sin\frac{θ}{2}$，这便可得出梯形的周长，换元：令$sin\frac{θ}{2}=t$，得到关于t的二次函数，配方即可求出周长的最大值．

解答 解：如图所示，分别过C，D，作CF⊥AB，DE⊥AB，垂足为F，E；

则四边形CDEF为矩形；
设∠EOD=θ∈$（0，\frac{π}{2}）$；
可得：CD=2OE=4cosθ，ED=2sinθ，AE=2-2cosθ；
∴BC=AD=$\sqrt{（2sinθ）^{2}+（2-2cosθ）^{2}}$=2$\sqrt{2-2cosθ}$；
∴梯形的周长=4+4cosθ+4$\sqrt{2-2cosθ}$=8$sin\frac{θ}{2}$+4（$1-2si{n}^{2}\frac{θ}{2}$）+4；
令$sin\frac{θ}{2}$=t∈$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，则：
f（t）=-8t²+8t+8=$-8（t-\frac{1}{2}）^{2}+10$；
∴t=$\frac{1}{2}$时，梯形的周长取最大值10．
故答案为：10．

点评 考查直角三角形边的关系，数形结合解题的方法，二倍角的余弦公式，配方求二次函数最值的方法．