题目内容

11．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．
（1）求在一局游戏中得3分的概率；
（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．

分析 （Ⅰ）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；
（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，
求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设在一局游戏中得3分为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；
且在一局游戏中得2分的概率为$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{2}{+C}_{2}^{2}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$；
则P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{25}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{3}{10}$）×$\frac{2}{5}$=$\frac{28}{125}$，
P（X=4）=$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{3}{10}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{42}{125}$，
∴X的分布列为：

 X1234
 P$\frac{1}{5}$ $\frac{6}{25}$ $\frac{28}{125}$ $\frac{42}{125}$ 
EX=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{6}{25}$+3×$\frac{28}{125}$+4×$\frac{42}{125}$=$\frac{337}{125}$．

点评 本题考查了相互独立事件概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．

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②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是①③．

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