Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，点F为PC的中点，则下列说法正确的序号为②④．
①AF⊥平面PBD；
②PA∥平面FBD；
③异面直线PA与DF的夹角为45°；
④BD⊥AF．

Answer 1

分析 利用线面平行、垂直的判定与性质，即可得出结论．

解答 解：①∵PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，点F为PC的中点，
∴AF⊥PC，∴AF⊥平面PBD不正确；
②连接OF，则PA∥OF，∵PA?平面FBD，OF?平面FBD，∴PA∥平面FBD，正确；
③异面直线PA与DF的夹角=直线OF与DF的夹角，∵FO⊥平面ABCD，FO≠DO，∴直线OF与DF的夹角不为45°，不正确；
④∵BD⊥AC，BD⊥PA，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AF，正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．