Question

4．已知函数f（x）=$\frac{lna-lnx}{x}$在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 0＜a≤$\frac{1}{e}$
• B． a$≥\frac{1}{e}$
• C． $\frac{1}{{e}^{2}}$＜a≤$\frac{1}{e}$
• D． a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$

Answer 1

分析 先求导，由函数f（x）在[1，+∞]上为增函数，转化为f′（x）≥0在[1，+∞]上恒成立问题求解．

解答 解：f′（x）=$\frac{-1-lna+lnx}{{x}^{2}}$，
由f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即-1-lna+lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴lnx≥lnea在[1，+∞）上恒成立，
∴lnea≤0，即ea≤1，
∴a≤$\frac{1}{e}$，
∵a＞0，
∴0$＜a≤\frac{1}{e}$
故选：A

点评 本题主要考查用导数法研究函数单调性问题，基本思路是lnx≥lnea在[1，+∞）上恒成立，转化为最值问题求解．