题目内容
12．在△ABC中，边AC=1，AB=2，角A=$\frac{2}{3}π$，过A作AP⊥BC于P，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λμ=（ ）| A． | $\frac{10}{49}$ | B． | $\frac{12}{49}$ | C． | $\frac{6}{25}$ | D． | $\frac{4}{25}$ |
分析 利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．
解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$2×1×cos\frac{2π}{3}$=-1．
∵AP⊥BC，∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=（λ-μ）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$μ{\overrightarrow{AC}}^{2}$=-（λ-μ）-4λ+μ=-5λ+2μ=0，
与λ+μ=1联立解得：$λ=\frac{2}{7}$，μ=$\frac{5}{7}$．
则λμ=$\frac{10}{49}$．
故选：A．
点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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