Question

3．已知二次函数f（x）=x²-4x+a+3，
（1）若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x），x∈[t，4]的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得-a-3=x²-4x在[-1，1]上有解，求得y=x²-4x在[-1，1]的最值，即可得到所求a的范围；
（2）对t讨论，分t≥2，t=0，0＜t＜2，t＜0，运用二次函数的单调性，可得最值，结合区间的长度，解方程即可得到所求t的值．

解答 解：（1）函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，可得：
x²-4x+a+3=0即-a-3=x²-4x在[-1，1]上有解，
由y=x²-4x在[-1，1]上递减，可得最小值为-3，最大值为5．
即有-3≤-a-3≤5，解得-8≤a≤0；
（2）函数y=f（x），x∈[t，4]，
当t≥2时，区间[t，4]为增区间，
即有函数的值域为[t²-4t+a+3，a+3]，
由a+3-（t²-4t+a+3）=7-2t，解得t=3+$\sqrt{2}$（3-$\sqrt{2}$舍去）；
当t=0时，f（x）在[0，2]递减，（2，4]递增，可得最小值为-1，最大值为3．
3-（-1）=4≠7-2t；
当t＜0时，f（t）＞f（4），f（x）在[t，4]的最小值为a-1，最大值为f（t）=t²-4t+a+3，
由t²-4t+a+3-a+1=7-2t，即t²-2t-3=0，解得t=-1（3舍去）；
当0＜t＜2时，f（t）＜f（4），f（x）在[t，4]的最小值为a-1，最大值为f（4）=a+3，
由a+3-a+1=7-2t，即7-2t-4=0，解得t=$\frac{3}{2}$．
综上可得，存在常数t=3+$\sqrt{2}$，-1或$\frac{3}{2}$，使区间D的长度为7-2t．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，同时考查二次函数在闭区间上的值域问题，注意运用分类讨论的思想方法，考虑对称轴和区间的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．