Question

5．若sinα+cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosα+sinβ=$\sqrt{2}$，则sin（α-β）=（　　）

• A． $\frac{5}{11}$
• B． -$\frac{5}{4}$
• C． -$\frac{5}{11}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 将两等式两边平方相加或相减，结合同角的平方关系和二倍角的余弦公式、两角和差正弦公式，以及和差化积公式，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：sinα+cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，①
cosα+sinβ=$\sqrt{2}$，②
①²+②²，可得（sin²α+cos²α）+（sin²β+cos²β）+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=$\frac{11}{4}$，
即为2+2sin（α+β）=$\frac{11}{4}$，即有sin（α+β）=$\frac{3}{8}$，
①²-②²，可得（sin²α-cos²α）+（cos²β-sin²β）+2（sinαcosβ-cosαsinβ）=-$\frac{5}{4}$，
即为-cos2α+cos2β+2sin（α-β）=-$\frac{5}{4}$，
即有2sin（α-β）+2sin（α-β）sin（α+β）=-$\frac{5}{4}$，
即为2sin（α-β）（1+$\frac{3}{8}$）=-$\frac{5}{4}$，
解得sin（α-β）=-$\frac{5}{11}$．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的求值，注意运用平方法和三角函数的恒等变换公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．