Question

10．已知$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，2sinx），\overrightarrow n=（{sin^2}x-{cos^2}x，cosx）$，函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；
（2）设$x∈[-\frac{π}{3}，\;\frac{π}{3}]$，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式、辅助角公式化简函数，即可求f（x）的最小正周期、对称轴和对称中心；
（2）设$x∈[-\frac{π}{3}，\;\frac{π}{3}]$，由$-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$得$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，即可求f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）$f（x）=-\sqrt{3}（{cos^2}x-{sin^2}x）+2sinx•cosx$=$-\sqrt{3}cos2x+sin2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$----------（2分）
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π----------（3分）
由$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得，$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{12}π（k∈Z）$，
∴f（x）的对称轴为$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{12}π（k∈Z）$----------（5分）
由$2x-\frac{π}{3}=kπ（k∈Z）$，得$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴f（x）的对称中心为$（{\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}，0}）（k∈Z）$----------（7分）
（2）∵$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{3}$，∴$-π≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，
由$-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$得$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，
∴f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$-----------（12分）

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查学生化简能力，考查学生的计算能力，正确化简是关键．