Question

已知动圆M在y轴右侧与圆F：（x-1）²+y²=1外切，又与y轴相切．
（1）求圆心M的轨迹C的方程；
（2）已知点P在轨迹C上，过点F作直线l与PF垂直，记l与直线x=-1的交点为R，试探究直线PR与轨迹C是否存在唯一交点，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x，y），（x＞0），依题意知|MF|=x+1，由此能求出圆心M的轨迹C的方程．
（2）由（1）知轨迹C的方程y²=4x．（x＞0）设R（-1，r），P（

p2

4

，p），（p＞0），由已知得-2（

p2

4

-1）+rp=0，直线PR的方程为

y-p

r-p

=

x- p2 4

-1- p2 4

，由此能求出直线PR与轨迹C存在唯一交点．

解答： 解：（1）设M（x，y），（x＞0），
依题意知|MF|=x+1，
即

(x-1)2+y2

=x+1，
整理，得圆心M的轨迹C的方程y²=4x．（x＞0）
（2）由（1）知轨迹C的方程y²=4x．（x＞0）
设R（-1，r），P（

p2

4

，p），（p＞0），
∵FR⊥FP，∴

FR

•

FP

=0，
∴（-2，r）•(

p2

4

-1，p)=0，
∴-2（

p2

4

-1）+rp=0，解得r=

p

2

-

2

p

，
直线PR的方程为

y-p

r-p

=

x- p2 4

-1- p2 4

，
把r=

p

2

-

2

p

代入并整理，得2x=py-

p2

2

，
联立y²=4x，消去x，得（y-p）²=0，
方程有两个相等的实数根，
∴直线PR与轨迹C存在唯一交点．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线PR与轨迹C存在唯一交点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．