题目内容
若f（x）=
•sin(x+
)-
sin2x+sinxcosx，
（1）求f（x）的周期和单调递增区间；
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，求f（A）的取值范围．
| 1+cos2x | ||
sin(
|
| π |
| 3 |
| 3 |
（1）求f（x）的周期和单调递增区间；
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，求f（A）的取值范围．
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：计算题,三角函数的图像与性质
分析：（1）利用三角诱导公式公式化简函数，然后求f（x）的周期和单调增区间．
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，即可求出A的取值范围，进一步可求得f（A）的取值范围．
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，即可求出A的取值范围，进一步可求得f（A）的取值范围．
解答：
解：（1）f（x）=
•sin(x+
)-
sin2x+sinxcosx
=2cosxsinx+
cos2x-
sin2x
=sin2x+
cos2x=2sin（2x+
），
故f（x）的周期为：π．
因为y=sinx的单调增区间为[-
+2kπ，
+2kπ]k∈Z
所以：-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，解得x∈[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）
故答案为：[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
则有0＜A≤
⇒0＜2A+
≤π．
由f（x）=2sin（2x+
）的图象可知0＜f（x）≤2．
所以f（A）的取值范围（0，2]．
| 1+cos2x | ||
sin(
|
| π |
| 3 |
| 3 |
=2cosxsinx+
| 3 |
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
| π |
| 3 |
故f（x）的周期为：π．
因为y=sinx的单调增区间为[-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
所以：-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
故答案为：[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
则有0＜A≤
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
由f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
所以f（A）的取值范围（0，2]．
点评：本题考查正弦函数的单调性，余弦函数的单调性，利用基本函数的单调增区间，求复合函数的单调增区间、周期和值域．属于中档题．
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