Question

在△AOB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈（0，

π

2

]，则△AOB面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,数形结合,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，角θ如图所示，所以三角形AOB的面积就等于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面积，再减去三角形APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积的最小值．

解答： 解：如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，
过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，
则S_△OAB=S_{正方形OMPN}-S_△OMA-S_△ONB-S_△ABP=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

（cosθ×1）-

1

2

（1-sinθ）（1-cosθ）
=

1

2

-

1

2

sincosθ=

1

2

-

1

4

sin2θ，
因为θ∈（0，

π

2

]，2θ∈（0，π]，
所以当2θ=

π

2

即θ=

π

4

时，sin2θ最大为1，
三角形的面积最小，最小面积为

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数形结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题．