题目内容

设正实数a、b满足a+b=ab，证明：
a
b2+4
+
b
a2+4
≥
1
2
．
考点：不等式的证明
专题：不等式
分析：因为a＞0，b＞0，所以
a
b2+4
+
b
a2+4
≥2
ab
(b2+4)(a2+4)
，并且可将2
ab
(b2+4)(a2+4)
变成2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
，由a+b=ab能得到ab≥4，4ab≥16，又ab+
16
ab
≥8，所以得到2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
≤
1
2
，即2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
的最大值为
1
2
，所以便得到要证的结论．
解答： 证：由已知条件得：
a
b2+4
+
b
a2+4
≥2
ab
(b2+4)(a2+4)
=2
ab
a2b2+4(a2+b2)+16
=2
ab
a2b2+4[(a+b)2-2ab]+16
=2
ab
a2b2+16+4a2b2-8ab
=2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
；
∵a，b＞0，∴ab=a+b≥2
ab
，即ab≥2
ab
，∴ab≥4，4ab≥16，当a=b时取“=“；
又ab+
16
ab
≥2
16
=8，当ab=4时取“=“；
∴ab+
16
ab
+4ab-8≥16，0＜
1
ab+
16
ab
+4ab-8
≤
1
16
，
∴2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
≤
1
2
，即2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
的最大值为
1
2
；
∴
a
b2+4
+
b
a2+4
≥
1
2
．
点评：考查基本不等式：a+b≥2
ab
，a＞0，b＞0，当且仅当a=b时取“=“，并且证明本题时注意“=“成立的条件．
练习册系列答案
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已知tanα=
1
2
，求
2cosα-3sinα
3cosα+4sinα
的值．
（1）已知f（x）=
lnx
x
，g（x）=（x-e）2+
1
e
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π
2
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π
2
时，tanx＞x．
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3
2
，
1
2
]．
（1）当θ=
π
3
时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[-
3
2
，
1
2
]上是单调递增函数，θ∈R，求θ的取值范围．
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x2
a2
+
y2
ka2
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3
≥
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3
．
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1
2
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1
3
．
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