Question

17．已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，且A，B，C所对的边分别为a，b，c则下列结论正确的是①②⑤．
①$B=\frac{π}{3}$；
②若b²=ac，则△ABC为等边三角形；
③若a=2c，则△ABC为锐角三角形；
④若${\overrightarrow{AB}^2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，则3a=c；
⑤若$tanA+tanC+\sqrt{3}=0$，则△ABC为锐角三角形．

Answer 1

分析 在①中，利用三角形内角和定理和等差数列的性质能求出B=$\frac{π}{3}$；在②中，当b²=ac时，求出a=c，从而推导出△ABC为等边三角形；在③中，由余弦定理推导出b=$\sqrt{3}c$，A=$\frac{π}{2}$；在④中，推导出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CA}$=0，从而C=$\frac{π}{2}$，进而求出c=2a；在⑤中，推导出tanAtanC＞0，由此能得到△ABC是锐角三角形．

解答 解：在①中，∵A+B+C=π，且2B=A+C，∴B=$\frac{π}{3}$，故①正确；
在②中，当b²=ac时，得ac=a²+c²-ac，即（a-c）²=0，∴a=c，
又B=$\frac{π}{3}$，∴△ABC为等边三角形，故②正确；
在③中，当a=2c时，b²=4c²+c²-2c²，即b=$\sqrt{3}c$，
此时cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=0，则A=$\frac{π}{2}$，故③错误；
在④中，∵${\overrightarrow{AB}^2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CA}$=0，∴C=$\frac{π}{2}$，又B=$\frac{π}{3}$，∴c=2a，故④错误；
在⑤中，∵tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$，
∴tanA+tanC=tan（A+C）（1-tanAtanC），
则tanA+tanC+$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$（1-tanAtanC）+$\sqrt{3}$＞0，
∴tanAtanC＞0，
∵A，C均为三角形内角，∴A，C均为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评 本题考查命题真假的判断，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、等差数列、三角形内角和定理、正切函数加法定理、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．