Question

7．若M为△ABC所在平面内的一点，且满足4$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，直线BC与AM交于点D，则$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由4$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，得出$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，取BC的中点N，连接AN，取AE=$\frac{1}{4}$AC，得出$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{AE}$，画出图形结合图形求出$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BC}|}$的值．

解答 解：△ABC中，
4$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，
∴4$\overrightarrow{AM}$=2（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，

取BC的中点N，连接AN，取AE=$\frac{1}{4}$AC，
以$\overrightarrow{AN}$、$\overrightarrow{AE}$为邻边作平行四边形AEMN，连接AM，交BC于点D，
则$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{AE}$，如图所示；
∴MN=AE=$\frac{1}{4}$AC，
∴ND=$\frac{1}{4}$DC，
∴CD=$\frac{4}{5}$CN，
∴CD=$\frac{2}{5}$BC，
∴BD=$\frac{3}{5}$BC，
∴$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是中档题．