Question

8．设函数f（x）=|ax-x²|+2b（a，b∈R）．
（1）当b=0时，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知a为常数，且函数f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，及（f（x）-2x）_max≤在x∈[0，2]上恒成立即可‘
（2）函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a-x|=-2b在[0，2]上有解，分类求出设h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax，x＜a}\end{array}\right.$的值域即可．

解答 解：（1））当b=0时，若不等式：x|a-x|≤2x，
在x∈[0，2]上恒成立；
当x=0时，不等式恒成立，则a∈R；
当0＜x≤2时，则|a-x|≤2，
在[0，2]上恒成立，即-2≤x-a≤2在（0，2]上恒成立，
因为y=x-a在（0，2]上单调增，y_max=2-a，y_min=-a，
则 $\left\{\begin{array}{l}{2-a≤2}\\{-a≥-2}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤2；
则实数a的取值范围为[0.2]；
（2）函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a-x|=-2b在[0，2]上有解；
设h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax，x＜a}\end{array}\right.$，
当a≤0时，则h（x）=x²-ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上单调增，
所以h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（2）=4-2a，
则当 $\frac{{a}^{2}}{4}$0≤-2b≤4-2a时，原方程有解，则a-2≤b≤0；
当a＞0时，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax，x＜a}\end{array}\right.$，
h（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上单调增，在[$\frac{a}{2}$，a]上单调减，在[a，+∞）上单调增；
①当$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4时，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（2）=4-2a，
则当则当0≤-2b≤2a-4时，原方程有解，则2-a≤b≤0；
②当$\frac{a}{2}$＜2≤a，即2≤a＜4时，h（x）_min=h（0）=0，
h（x）_max=h（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
则当0≤-2b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$时，原方程有解，则-$\frac{{a}^{2}}{8}$≤b≤0；
③当0＜a＜2时，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=max{h（2），
h（$\frac{a}{2}$）=max{4-2a，$\frac{{a}^{2}}{4}$}
当$\frac{{a}^{2}}{4}$≥4-2a，即当-4+4$\sqrt{2}$≤a＜2时，h（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
则当0≤-2b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$时，原方程有解，则-$\frac{{a}^{2}}{8}$≤b≤0；
当$\frac{{a}^{2}}{4}$＜4-2a，即则0＜a＜-4+4$\sqrt{2}$时，h（x）_max=4-2a，
则当0≤-2b≤4-2a时，原方程有解，则a-2≤b≤0；
综上，当0＜a＜-4+4$\sqrt{2}$时，实数b的取值范围为[a-2，0]；
当-4+4$\sqrt{2}$≤a＜4时，实数b的取值范围为[-$\frac{{a}^{2}}{8}$，0]；
当a≥4时，实数b的取值范围为[2-a，0]．

点评 本题考查了分段函数的值域问题，及分类讨论思想，属于综合题．