题目内容

5．已知Sn为数列{an}的前n项和，且an=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，n≥6}\\{{a}_{n-1}+1，2≤n＜6}\end{array}\right.$，a1=a（a∈R）给出下列3个结论：①数列{an+5}一定是等比数列；②若S5＜100，则a＜18；③若a3，a6，a9成等比数列，则a=-$\frac{4}{3}$．其中，所有正确结论的序号为（　　）
A．②B．②③C．①③D．①②③

分析 根据题意，由数列的递推公式表示出数列的前几项，据此分析3个结论：对于①、由等比数列的性质可得a=-4时{an+5}不是等比数列，可①错误；对于②、由等差数列的性质可得②正确，对于③、由等比数列的性质可得（2a+8）2=（a+2）×8×（2a+8），且a6=2a+8≠0，解可得a的值，解可得答案．

解答 解：根据题意，数列{an}满足an=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，n≥6}\\{{a}_{n-1}+1，2≤n≤6}\end{array}\right.$，且a1=a，
则a2=a1+1=a+1，a3=a2+1=a+2，a4=a3+1=a+3，a5=a4+1=a+4，
a6=2a5=2a+8，a7=2a6，…；
对于①、当a=-4时，a6=2a+8=0，此时数列{an+5}不是等比数列，故①错误；
对于②、若S5＜100，则有S5=（a1+a2+…+a5）=5（a+2）＜100，则有a＜18；②正确；
对于③、根据题意，a3=a+2，a6=2a+8，a9=2a5=8×（2a+8），
若a3，a6，a9成等比数列，则有（2a+8）2=（a+2）×8×（2a+8），且a6=2a+8≠0，
解可得a=-$\frac{4}{3}$，③正确；
综合可得：②③正确；
故选：B．

点评 本题考查数列的递推公式，关键是掌握等比数列、等差数列的定义、性质．

练习册系列答案
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y=x${\;}^{\frac{7}{3}}$④；y=x${\;}^{-\frac{1}{4}}$⑤；y=x${\;}^{-\frac{3}{5}}$①；y=x${\;}^{-\frac{2}{3}}$③；y=x${\;}^{\frac{1}{4}}$②

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