设函数f(x)=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-2x.证明:函数f上是减函数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．设函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-2x，证明：函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数．

分析首先，求导数，然后，分为x是否为零进行讨论，同时结合范围进行判断即可．

解答证明：因为函数的定义域为R，
而f'（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-2，
当x=0时，f'（x）=-2＜0，
当x＞0时，f'（x）=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$-2，
∵x²＞0，
∴1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞1，
∴f′（x）＜0，
故函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数．

点评本题重点考查导数在判断函数单调性中的应用，属于中档题．

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17．已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，且A，B，C所对的边分别为a，b，c则下列结论正确的是①②⑤．
①$B=\frac{π}{3}$；
②若b²=ac，则△ABC为等边三角形；
③若a=2c，则△ABC为锐角三角形；
④若${\overrightarrow{AB}^2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，则3a=c；
⑤若$tanA+tanC+\sqrt{3}=0$，则△ABC为锐角三角形．

18．已知$tanα=\frac{1}{2}$，$tan（2α-β）=\frac{1}{12}$，则tan（α-β）=（　　）

$-\frac{14}{23}$

$-\frac{14}{23}$

2．在下列函数后的横线上分别填上相应图象的序号：
y=x${\;}^{\frac{7}{3}}$④；y=x${\;}^{-\frac{1}{4}}$⑤；y=x${\;}^{-\frac{3}{5}}$①；y=x${\;}^{-\frac{2}{3}}$③；y=x${\;}^{\frac{1}{4}}$②

9．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下

x	2	4	5	6	8
y	20	40	60	70	80

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=10.5x+$\stackrel{∧}{a}$，据此模型预测当x=10时，y的估计值为（　　）

19．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点$P（1，-\frac{3}{2}）$，离心率是$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上任意一点P作圆O：x²+y²=3的切线l₁，l₂，设直线OP，l₁，l₂的斜率分别是k₀，k₁，k₂，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，$\frac{1}{k_0}（\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}）$是否是定值，请说明理由，并加以证明．

6．已知在R上可导，F（x）=f（x³-1）+f（1-x³），则F′（1）=0．

3．已知f（x）=4x⁵-12x⁴+3.5x³-2.6x²+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5的值时，v₁=8．

4．若z=m²-1+（m²+m）i是纯虚数，则实数m的值为1．