Question

17．已知函数函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a$，其中a＞0，若函数f（x）在区间（-2，0）内恰好有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，3）
• B． （3，+∞）
• C． $（0，\frac{1}{3}）$
• D． $（\frac{1}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，分解因式，可得f（x）在区间（-2，-1）内单调增加，在区间（-1，0）单调减少，由零点存在定理可得f（-2）＜0，f（-1）＞0，f（0）＜0，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a$的导数为：
f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），a＞0，
易知函数f（x）在区间（-2，-1）内单调增加，
在区间（-1，0）单调减少，
从而函数f（x）在区间（-2，0）内恰好有两个零点，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}f（-2）＜0\\ f（-1）＞0\\ f（0）＜0\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{8}{3}+2（1-a）+2a-a＜0}\\{-\frac{1}{3}+\frac{1-a}{2}+a-a＞0}\\{-a＜0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞-\frac{2}{3}}\\{a＜\frac{1}{3}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得$0＜a＜\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用导数判断单调性，以及函数零点存在定理，考查转化思想和运算能力，属于中档题．