Question

2．（B组题）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ是常数）．若函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上具有单调性，且$f（-\frac{π}{2}）=f（-\frac{π}{4}）=-f（\frac{π}{4}）$，则f（x）的对称中心坐标为（$\frac{3kπ}{4}$，0）（其中k∈Z）．

Answer 1

分析 利用正弦函数的单调性、周期性以及图象的对称性，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ是常数）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上具有单调性，
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{π}{4}$+φ≤$\frac{π}{2}$，∴ω≤2，ωπ+4φ≤2π ①．
∵$f（-\frac{π}{2}）=f（-\frac{π}{4}）=-f（\frac{π}{4}）$，故函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{-\frac{π}{2}+（-\frac{π}{4}）}{2}$=-$\frac{3π}{8}$对称，也关于点（0，0）对称，
故f（x）为奇函数，故φ=0，f（x）=Asin（ωx）．
故周期的最大值为（0+$\frac{3π}{8}$）×4=$\frac{3π}{2}$，故函数的图象的对称中心为（0+k•$\frac{3π}{4}$，0），即（k•$\frac{3π}{4}$，0），
故答案为：$\frac{3kπ}{4}$．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、周期性以及图象的对称性，属于基础题．