Question

9．在区间（-2，a）（a＞0）上任取一个数m，若函数f（x）=3^x+m-3$\sqrt{3}$在区间[1，+∞）无零点的概率不小于$\frac{2}{3}$，则实数a能取的最小整数是（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 可得方程x+m=$\frac{3}{2}$在区间[1，+∞）无解，由方程x+m=$\frac{3}{2}$的根为x=$\frac{3}{2}$-m，只需$\frac{3}{2}-m＜1$⇒m＞$\frac{1}{2}$，根据几何概型计算公式得$\frac{a-\frac{1}{2}}{a+2}≥\frac{2}{3}$，即可求解．

解答 解：函数f（x）=3^x+m-3$\sqrt{3}$在区间[1，+∞）无零点?方程x+m=$\frac{3}{2}$在区间[1，+∞）无解，
∵方程x+m=$\frac{3}{2}$的解为x=$\frac{3}{2}$-m，
∵方程x+m=$\frac{3}{2}$在区间[1，+∞）无解，
只需$\frac{3}{2}-m＜1$⇒m＞$\frac{1}{2}$，根据几何概型计算公式得$\frac{a-\frac{1}{2}}{a+2}≥\frac{2}{3}$，
解得a$≥\frac{11}{2}$，实数a能取的最小整数是6，
故选：D

点评 本题考查了几何概型的计算公式，考查了转化思想，属于中档题．