Question

12．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$??（θ为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数θ，能求出曲线C的普通方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=2，从而能求出直线l的直角坐标方程．
（2）设点Q的坐标为（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$），求出点Q到直线l的距离，利用三角函数性质能求出点Q到直线l的距离的最大值．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∴消去参数θ，得曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
∵直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$
化简得ρsinθ+ρcosθ=2，
∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．
（2）∵点Q是曲线C上的一个动点，∴可设点Q的坐标为（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$），
∴点Q到直线l的距离：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-2|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-2|}{\sqrt{2}}$，
当sin（$θ+\frac{π}{3}$）=-1时，${d}_{max}=2\sqrt{2}$．
∴点Q到直线l的距离的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．