题目内容

请仔细阅读以下材料：
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．
求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)”是真命题．
证明 因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞
1
b
＞0．
又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
于是有f(a)＞f(
1
b
)．      ①
同理有f(b)＞f(
1
a
)．      ②
由①+②得f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)．
故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)”是真命题．
请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)，则：ab＞1”是真命题；
（2）解关于x的不等式f（ax-1）+f（2x）＞f（a1-x）+f（2-x）（其中a＞0）．
考点：抽象函数及其应用,四种命题,其他不等式的解法
专题：函数的性质及应用
分析：（1）先写出原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：f(a)+f(b)≤f(
1
a
)+f(
1
b
)，由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题，证明原命题的逆否命题为真命题；
（2）利用（1）的结论有：ax-1•2x＞1，即：（2a）x＞a，再分①当2a＞1时、②当0＜2a＜1时、③当2a=1时三种情况，写出不等式的解集．
解答： 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题．
原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：f(a)+f(b)≤f(
1
a
)+f(
1
b
)，
下面证明原命题的逆否命题为真命题：
因为a，b∈R+，由ab≤1，得：0＜a≤
1
b
，
又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数
所以f(a)≤f(
1
b
 )…（1）
同理有：f(b)≤f(
1
a
 )…（2）
由（1）+（2）得：f(a)+f(b)≤f(
1
a
)+f(
1
b
)
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题．

（2）由（1）的结论有：ax-1•2x＞1，即：（2a）x＞a，
①当2a＞1时，即a＞
1
2
时，不等式的解集为：（log2aa，+∞）；
②当0＜2a＜1时，即0＜a＜
1
2
时，不等式的解集为：（-∞，log2aa）；
③当2a=1时，即a=
1
2
时，不等式的解集为：R．
点评：本题主要考查抽象函数的综合应用，并同时考查证明真命题的方法，其中，原命题与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键．
练习册系列答案
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已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=-
3
x，它的一个焦点在抛物线y2=-24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）
A、
x2
36
-
y2
108
=1
B、
x2
27
-
y2
9
=1
C、
x2
108
-
y2
56
=1
D、
x2
9
-
y2
27
=1
某生物研究所进行物种杂交试验，杂交后形成的新生物从出生算起活到3个月的概率为
3
4
，活到1年的概率为x，现有一只3个月的这种生物，若它能活到1年的概率为
1
3
，则x的值为（　　）
A、
3
4
B、
1
3
C、
2
3
D、
1
4
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC，BC=1，
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），(0，
3
)、F分别为F1（-c，0），F2（c，0）、BC的中点．
（Ⅰ）求证：C1F∥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCE的体积．
设定点A（0，1），若动点P在函数y=
x+2
x
（x＞0）图象上，则|PA|的最小值为
 
．
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如图，已知点A（11，0），函数y=
x+1
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（1）求函数f（t）的解析式及t的取值范围．
（2）若a∈（0，2
3
），求函数f（t）在（0，a]上的最大值．
不等式x2＞0的解集是
 
．
表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为
 
．

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