题目内容
请仔细阅读以下材料：
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．
求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
)+f(
)”是真命题．
证明 因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞
＞0．
又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
于是有f(a)＞f(
)． ①
同理有f(b)＞f(
)． ②
由①+②得f(a)+f(b)＞f(
)+f(
)．
故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
)+f(
)”是真命题．
请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若f(a)+f(b)＞f(
)+f(
)，则：ab＞1”是真命题；
（2）解关于x的不等式f（ax-1）+f（2x）＞f（a1-x）+f（2-x）（其中a＞0）．
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．
求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
证明 因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞
| 1 |
| b |
又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
于是有f(a)＞f(
| 1 |
| b |
同理有f(b)＞f(
| 1 |
| a |
由①+②得f(a)+f(b)＞f(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若f(a)+f(b)＞f(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
（2）解关于x的不等式f（ax-1）+f（2x）＞f（a1-x）+f（2-x）（其中a＞0）．
考点：抽象函数及其应用,四种命题,其他不等式的解法
专题：函数的性质及应用
分析：（1）先写出原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：f(a)+f(b)≤f(
)+f(
)，由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题，证明原命题的逆否命题为真命题；
（2）利用（1）的结论有：ax-1•2x＞1，即：（2a）x＞a，再分①当2a＞1时、②当0＜2a＜1时、③当2a=1时三种情况，写出不等式的解集．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
（2）利用（1）的结论有：ax-1•2x＞1，即：（2a）x＞a，再分①当2a＞1时、②当0＜2a＜1时、③当2a=1时三种情况，写出不等式的解集．
解答：
解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题．
原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：f(a)+f(b)≤f(
)+f(
)，
下面证明原命题的逆否命题为真命题：
因为a，b∈R+，由ab≤1，得：0＜a≤
，
又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数
所以f(a)≤f(
)…（1）
同理有：f(b)≤f(
)…（2）
由（1）+（2）得：f(a)+f(b)≤f(
)+f(
)
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题．
（2）由（1）的结论有：ax-1•2x＞1，即：（2a）x＞a，
①当2a＞1时，即a＞
时，不等式的解集为：（log2aa，+∞）；
②当0＜2a＜1时，即0＜a＜
时，不等式的解集为：（-∞，log2aa）；
③当2a=1时，即a=
时，不等式的解集为：R．
原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：f(a)+f(b)≤f(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
下面证明原命题的逆否命题为真命题：
因为a，b∈R+，由ab≤1，得：0＜a≤
| 1 |
| b |
又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数
所以f(a)≤f(
| 1 |
| b |
同理有：f(b)≤f(
| 1 |
| a |
由（1）+（2）得：f(a)+f(b)≤f(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题．
（2）由（1）的结论有：ax-1•2x＞1，即：（2a）x＞a，
①当2a＞1时，即a＞
| 1 |
| 2 |
②当0＜2a＜1时，即0＜a＜
| 1 |
| 2 |
③当2a=1时，即a=
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查抽象函数的综合应用，并同时考查证明真命题的方法，其中，原命题与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=-
x，它的一个焦点在抛物线y2=-24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC，BC=1，
如图，已知点A（11，0），函数y=