Question

1．已知抛物线y²=8x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则△AOB的面积为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{16\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{32\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{64\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 抛物线y²=8x的焦点为F（2，0），由抛物线的定义可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，则|AB|=2|AE|，直线AB的倾斜角为60°，利用点斜式方程，求得直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x₁+x₂的值，则丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{20}{3}$+4=$\frac{32}{3}$，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求得△AOB的面积．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点为F（2，0），由抛物线的定义可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，
过B做BE⊥AD，
由$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则丨$\overrightarrow{AF}$丨=丨$\overrightarrow{FB}$丨，
∴|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，
∴直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x-2），
联立直线AB与抛物线的方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-20x+12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，则丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{20}{3}$+4=$\frac{32}{3}$，
而原点到直线AB的距离为d=$\frac{丨2\sqrt{3}丨}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
则三角形△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{32}{3}$•$\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{32}{3}$•$\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，．
故选B．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的焦点弦公式，三角形面积公式及点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．