Question

11．数列{a_n}的前n项和S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），数列{b_n}满足b_n+1=$\frac{1}{4}$b_n，且b₁=4．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n}满足c_n=a_n+log₂b_n，其前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）n≥2时，S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），S_n-1=$\frac{3}{2}$（a_n-1-1），两式相减即可得出a_n=3a_n-1，即可得出a_n．
（2）利用“分组求和法”即可得出T_n．

解答 解：（1）n≥2时，S_n=$\frac{3}{2}$（a_n-1），S_n-1=$\frac{3}{2}$（a_n-1-1），
两式相减得a_n=$\frac{3}{2}$（a_n-a_n-1），
∴a_n=3a_n-1，又S₁=$\frac{3}{2}$（a₁-1），得到a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，
又数列{b_n}满足b_n+1=$\frac{1}{4}$b_n，且b₁=4．
∴b_n=4^2-n．
（2）由（1）可知：cn=an+log2bn=3n+log242-n=3n+log224-2n=3n+（4-2n）．
T_n=2+3¹+0+3²+（-2）+3³+…+（4-2n）+3ⁿ=（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）+（2+0-2-4…+4-2n）=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$+4n-n（n+1）=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$+3n-n²．

点评 本题考查了递推式的应用、“分组求和”、等比数列、等差数列的前n和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．