Question

10．在如图所示的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是BC，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE?平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB₁=60°，求直线BC与平面AB₁C所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点F，连接DF，EF证明以DF∥AC，推出DF∥平面ACC₁A₁．证明EF∥AA₁，推出EF∥平面ACC₁A₁，然后证明DE?平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）证明△AB₁C为正三角形，推出BB₁=AB．取AB₁的中点O，连接BO，CO，说明∠BCO即为直线BC与平面AB₁C所成角，在RtBCO中，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）取AB中点F，连接DF，EF．…（1分）
在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，DF?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
所以DF∥平面ACC₁A₁．…（3分）
在矩形ABB₁A₁中，因为E，F分别为B₁A₁，AB的中点，
所以EF∥AA₁，EF?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，所以EF∥平面ACC₁A₁．…（4分）
因为DF∩EF=F，所以平面DEF∥平面ACC₁A₁．…（5分）
因为DE?平面ACC₁A₁．…（6分）
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，所以BC⊥BB₁，
又AB⊥BC，AB∩BB₁=B，所以BC⊥平面ABB₁A₁．…（7分）
因为AB=BC，BB₁=BB₁，所以AB₁=CB₁，
又∠ACB₁=60°，所以△AB₁C为正三角形，
所以AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=AC=$\sqrt{2}AB$，所以BB₁=AB．…（8分）
取AB₁的中点O，连接BO，CO，所以AB₁⊥BO，AB₁⊥CO，所以AB₁⊥平面BCD，
所以平面AB₁C⊥平面BCD，点B在平面AB₁C上的射影在CO上，
所以∠BCO即为直线BC与平面AB₁C所成角．…（10分）
在RtBCO中，BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$，所以tan∠BCO$\frac{BO}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面市场价的求法，直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．