Question

已知函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）若存在x∈[0，+∞），使不等式

x-m

f(x)

＞x成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）令u（x）=|f（x）-g（x）|，求证：u（x）＞2．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）分别求出f（x）与g（x）与y轴和x轴的交点坐标，求出两函数在与坐标轴交点处的导数，由导数值相等求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的a值得到f（x）的解析式，代入

x-m

f(x)

＞x，把存在x∈[0，+∞）使不等式恒成立转化为存在x∈[0，+∞），不等式m＜x-xe^x成立，构造函数h（x）=x-xe^x，x≥0，利用导数求其最大值后得答案；
（Ⅲ）把f（x），g（x）代入u（x）=|f（x）-g（x）|，去绝对值后得到u（x）=e^x-lnx （x＞0）．借助于两个辅助函数m（x）=e^x-x-1 （x＞0），t（x）=lnx-x+1 （x＞0）证得e^x-1＞x，lnx+1＜x，两式联立后得答案．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ae^x，
∴f（0）=a，即y=f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，a）．
由g（x）=lnx-lna，得y=g（x）的图象与x轴的交点坐标为（a，0）．
又f′（x）=ae^x，g′(x)=

1

x

，
∴f′（0）=a，g′(a)=

1

a

．
由f′（0）=g′（a），得a=1；
（Ⅱ）解：∵a=1，
∴f（x）=e^x，
则存在x∈[0，+∞），使不等式

x-m

f(x)

＞x成立等价于存在x∈[0，+∞），m＜x-xe^x成立，
令h（x）=x-xe^x，x≥0，
则h′（x）=1-e^x-xe^x≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[0，+∞）上是减函数，
∴h（x）_max=h（0）=0，
∴实数m的取值范围为（-∞，0）；
（Ⅲ）证明：u（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx （x＞0）．
记m（x）=e^x-x-1 （x＞0），
m′（x）=e^x-1＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴e^x-1＞x  ①
记t（x）=lnx-x+1 （x＞0），
t′(x)=

1

x

-1，
当x∈（0，1）时，t′（x）＞0．
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＜0．
∴t（x）_max=t（1）=0，
∴lnx+1＜x   ②
由①②可得u（x）＞2．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，重点考查了数学转化思想方法和函数构造法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是压轴题．